obs.: Este exercício foi extraido de um site de uma universidade
Exercícios de PG
Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 - 4 => r = 4q - 2
(4) => 4 + 2(4q - 2) = 4q2 => 4 + 8q - 4 = 4q2 => 4q2 - 8q = 0
=> q(4q - 8) = 0 => q = 0 ou 4q - 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q - 2 => r = 8 - 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 - 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2
(2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2
=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i - 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
• Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
• se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
Solução:
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:
(1) b = a + r = aq => r = a(q - 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q - 1)
De (1) e (2) vem:
a(q - 1) = b(q - 1) => (a - b)(q - 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero:
ou a - b = 0 ou q - 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.
Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96
Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.
Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?
Solução:
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:
Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:
Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.
Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.
Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.
Solução:
Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:
b = a - 6 e c = a - 3
Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:
a2 = b2 + c2 => a2 = (a - 6)2 + (a - 3)2
Resolvendo os produtos notáveis:
a2 = a2 - 12a + 36 + a2 - 6a + 9 = 2a2 - 18a + 45
=> a2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:
a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12
E a PA é:
(9; 12; 15).
segunda-feira, 21 de abril de 2008
Exercícios de PA para a prática
Exercícios de PA
1. Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
2. Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
4. Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
5. Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6. Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
7. Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:
8. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
9. Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
10. Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
11. Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
12. (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
13. O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
14. O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
15. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
16. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
17. Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
18. Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
19. O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
20. O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71
21. Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a
(A)
(B)
(C) 53
(D) 265
(E) 53
22. (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
23. A PA tem razão . A razão da progressão definida por é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
24. O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
25. A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800
26. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500
27. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10
28. Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é
(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq
29. A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
1. Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
2. Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
4. Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
5. Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6. Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
7. Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:
8. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
9. Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
10. Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
11. Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
12. (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
13. O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
14. O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
15. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
16. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
17. Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
18. Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
19. O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
20. O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71
21. Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a
(A)
(B)
(C) 53
(D) 265
(E) 53
22. (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
23. A PA tem razão . A razão da progressão definida por é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
24. O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
25. A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800
26. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500
27. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10
28. Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é
(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq
29. A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
Exercícios Resolvidos de PA
Exercícios de P.A
1. Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
2. Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
4.
5.
6. Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6 - Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
6. Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:
8. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
a1=5 r=11 a13=?
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11
a13 = 5 + (12).11
a13 = 5 + 132
a13 = 137
2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
a5 = a1 + (5 - 1).r
100 = a1 + (5 - 1).10
100 = a1 + 40
100 - 40 = a1
a1 = 60
3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r
a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r
Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:
a1 = 21 - 6r
Agora, substituindo na segunda:
27 = (21 - 6r) + 8r
27 = 21 + 2r
27 - 21 = 2r
6 = 2r
6/2 = r
r = 3
4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
- informações do problema:
a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?
- Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1)r
-13 = 23 + (n - 1).(-6)
-13 - 23 = -6n + 6
-36 - 6 = -6n
-42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
n = 42/6
n = 7 Resposta certa letra "B
5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
- Informações:
a1= 2x
a2= x+1
a3= 3x
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:
a2 - a1 = a3 - a2
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
x + 1 - 2x = 3x - x - 1
x - 2x - 3x + x= -1 - 1
-3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1)
3x = 2
x = 2/3 Resposta certa letra "B"
1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
- Informações do problema:
a1=100 a30=187 n=30 S30=?
- Aplicando a fórmula da soma, temos:
S30 = (287) . 15
S30 = 4305
2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
- Informações do problema:
a1=21 r=7 S12=?
- Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.
a12=a1+(12-1)7
a12=21+77
a12=98
- Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
S12=(a1+a12)6
S12=(21+98)6
S12=119*6
S12= 714
3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!
- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
- O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
- Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
- Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
- Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa letra "C"
1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:
- Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:
a1=5 e a12=38 r=?
- Agora é só usar a fórmula do termo geral :
a12=a1+(12-1)r
38=5+11r
38-5=11r
33=11r
r=33/11
r=3 Resposta certa letra "C"
2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações do problema:
a1=112 an=250 r=23
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
- Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.
7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"
) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
- Informações do problema:
a7=20 a10=32 a20=?
- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
a7=a1+6r a10=a1+9r
20=a1+6r 32=a1+9r
- Formamos um sistema de equações e resolvemos:
20=a1+6r
32=a1+9r Vamos isolar o termo a1na primeira equação
a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação
32=20-6r+9r
32-20=9r-6r
12=3r
r=12/3
r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.
20=a1+6•4
20=a1+24
a1=-24+20
a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.
a20=a1+19r
a20=-4+19•4
a20=-4+19•4
a20=72 Resposta certa letra "C".
2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71
- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:
a1= (x-2)
a2= (x-5)
...
- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:
r=a2-a1=(x-5)-(x-2)
r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2
r=-5+2 X com -X se anulam
r=-3 Esta é a razão
- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:
an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores
(x-47)=(x-2)+(n-1)•(-3)
x-47-x+2= -3n+3
-45-3= -3n
-3n=-48
n=48/3
n=16
- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:
Sn=(a1+an)*n/2
Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2
Sn=(2x-49)*8
Sn=16x-392
- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:
(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424
16x-392=424
16x=424+392
16x=816
x=816/16
x=51 Resposta certa, letra "A"
3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a
(A)
(B)
(C) 53
(D) 265
(E) 53
- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:
- Agora é só aplicar a fórmula da soma:
Resposta certa, letra "B".
4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:
- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:
Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.
Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.
O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):
Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:
Resposta certa, letra "C".
5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.
bn=a5n então
b1=a5•1
b1=a5
bn=a5n então
b2=a5•2
b2=a10
Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :
a5=a1+(5-1)r
a5=a1+4r então
b1=a1+4r
a10=a1+(10-1)r
a10=a1+9r então
b2=a1+9r
Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :
b2-b1=a1+9r-(a1+4r)
b2-b1=5r
R=5r Resposta certa, letra "C".
6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações:
r=9 a1=4 an=58 n=?
- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
58=4+(n-1)9
58-4=9n-9
54+9=9n
63=9n
n=63/9
n=7 Resposta certa, letra "E".
7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800
- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular!
a40=a1+(40-1)•r
a40=0+(39)•1
a40=0+39
a40=39
- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma.
S40=(0+39)•40/2
S40=39•20
S40=780 Resposta certa, letra "D".
8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500
- Informações:
S11=35200 r=400
- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só:
an=a1+(n-1)r
a11=a1+(11-1)r
a11=a1+10r sabemos que a razão é 400
a11=a1+10•400
a11=a1+4000
- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:
- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia):
a11=a1+4000
a11=1200+4000
a11=5200 Resposta certa, letra "B".
9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10
- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).
- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo.
Sn=3n2+5n
S1=3•12+5•1
S1=3+5
a1=8
- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2:
S2=3•22+5•2
S2=3•4+10
S2=12+10
S2=22
- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto:
a1+a2=22
8+a2=22
a2=22-8
a2=14
- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1:
r=a2-a1
r=14-8
r=6 Resposta certa, letra "B".
10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é
(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq
- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:
{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}
- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral:
a100=a1+(100-1)r
a100=p+99•p
a100=100p
- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A".
S100=(a1+a100)•100/2
S100=(p+100p)•50
S100=(101p)•50
p=5050p
- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B".
a100=100q
S100=(q+100q)•50
S100=(101q)•50
S100=5050q
- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:
5050(p+q) resposta certa, letra "D".
11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
- Informações:
a1=-a an=20a r=7
- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:
Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:
3a+1-2
3a-1 Resposta certa letra "B".
GABARITO
01-C 04-C 07-D 10-D
02-A 05-C 08-B 11-B
03-B 06-E 09-B
Do conjunto de todos os números naturais n, n ≤ 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os mútiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.
13) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura
Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possía
(A) mais de 300 bolitas.
(B) pelo menos 230 bolitas.
(C) menos de 220 bolitas.
(D) exatamente 300 bolitas.
(E) exatamente 41 bolitas.
1. Dada a P.A. (-19,-15,-11,...) calcule o seu enésimo termo.
2. Interpole seis meios aritméticos entre –8 e 13.
3. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma de seus quadrados vale 80.
4.
5.
6. Calcule quantos números inteiros existem entre 13 e 247 que não são múltiplos de 3.
5) Encontre o valor de x para que a sequência (2x, x+1, 3x) seja uma progressão aritmética.
6 - Numa progressão aritmética em que a2+a7=a4+ak, o valor de k é:
6. Se Sn é a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (-90,-86,-82,...) então o menor valor de n para que se tenha Sn>0 é:
8. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Encontre o valor de n.
1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:
a1=5 r=11 a13=?
- Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11
a13 = 5 + (12).11
a13 = 5 + 132
a13 = 137
2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
a5 = a1 + (5 - 1).r
100 = a1 + (5 - 1).10
100 = a1 + 40
100 - 40 = a1
a1 = 60
3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r
a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r
Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:
a1 = 21 - 6r
Agora, substituindo na segunda:
27 = (21 - 6r) + 8r
27 = 21 + 2r
27 - 21 = 2r
6 = 2r
6/2 = r
r = 3
4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
- informações do problema:
a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?
- Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1)r
-13 = 23 + (n - 1).(-6)
-13 - 23 = -6n + 6
-36 - 6 = -6n
-42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
n = 42/6
n = 7 Resposta certa letra "B
5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 3
(D) 1/2
(E) 2
- Informações:
a1= 2x
a2= x+1
a3= 3x
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:
a2 - a1 = a3 - a2
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
x + 1 - 2x = 3x - x - 1
x - 2x - 3x + x= -1 - 1
-3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1)
3x = 2
x = 2/3 Resposta certa letra "B"
1) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
- Informações do problema:
a1=100 a30=187 n=30 S30=?
- Aplicando a fórmula da soma, temos:
S30 = (287) . 15
S30 = 4305
2) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
- Informações do problema:
a1=21 r=7 S12=?
- Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.
a12=a1+(12-1)7
a12=21+77
a12=98
- Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
S12=(a1+a12)6
S12=(21+98)6
S12=119*6
S12= 714
3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195
(B) 190
(C) 27
(D) 26
(E) 25
- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!
- Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
- O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
- Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
- Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
- Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa letra "C"
1) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:
- Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:
a1=5 e a12=38 r=?
- Agora é só usar a fórmula do termo geral :
a12=a1+(12-1)r
38=5+11r
38-5=11r
33=11r
r=33/11
r=3 Resposta certa letra "C"
2) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações do problema:
a1=112 an=250 r=23
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
- Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.
7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"
) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é
(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76
- Informações do problema:
a7=20 a10=32 a20=?
- Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral:
a7=a1+6r a10=a1+9r
20=a1+6r 32=a1+9r
- Formamos um sistema de equações e resolvemos:
20=a1+6r
32=a1+9r Vamos isolar o termo a1na primeira equação
a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação
32=20-6r+9r
32-20=9r-6r
12=3r
r=12/3
r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1.
20=a1+6•4
20=a1+24
a1=-24+20
a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral.
a20=a1+19r
a20=-4+19•4
a20=-4+19•4
a20=72 Resposta certa letra "C".
2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é
(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71
- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com:
a1= (x-2)
a2= (x-5)
...
- Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos:
r=a2-a1=(x-5)-(x-2)
r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2
r=-5+2 X com -X se anulam
r=-3 Esta é a razão
- Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo:
an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores
(x-47)=(x-2)+(n-1)•(-3)
x-47-x+2= -3n+3
-45-3= -3n
-3n=-48
n=48/3
n=16
- Agora sim podemos usar a fórmula da soma:
Sn=(a1+an)*n/2
Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2
Sn=(2x-49)*8
Sn=16x-392
- Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado:
(x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424
16x-392=424
16x=424+392
16x=816
x=816/16
x=51 Resposta certa, letra "A"
3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a
(A)
(B)
(C) 53
(D) 265
(E) 53
- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1 e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício:
- Agora é só aplicar a fórmula da soma:
Resposta certa, letra "B".
4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA:
- O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA:
Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência.
Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta.
O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h):
Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo:
Resposta certa, letra "C".
5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo.
bn=a5n então
b1=a5•1
b1=a5
bn=a5n então
b2=a5•2
b2=a10
Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 :
a5=a1+(5-1)r
a5=a1+4r então
b1=a1+4r
a10=a1+(10-1)r
a10=a1+9r então
b2=a1+9r
Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 :
b2-b1=a1+9r-(a1+4r)
b2-b1=5r
R=5r Resposta certa, letra "C".
6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
- Informações:
r=9 a1=4 an=58 n=?
- Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
58=4+(n-1)9
58-4=9n-9
54+9=9n
63=9n
n=63/9
n=7 Resposta certa, letra "E".
7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a
(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800
- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}
- Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular!
a40=a1+(40-1)•r
a40=0+(39)•1
a40=0+39
a40=39
- Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma.
S40=(0+39)•40/2
S40=39•20
S40=780 Resposta certa, letra "D".
8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a
(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500
- Informações:
S11=35200 r=400
- Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só:
an=a1+(n-1)r
a11=a1+(11-1)r
a11=a1+10r sabemos que a razão é 400
a11=a1+10•400
a11=a1+4000
- Agora sim vamos colocar na fórmula da soma:
- Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia):
a11=a1+4000
a11=1200+4000
a11=5200 Resposta certa, letra "B".
9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=3n2+5n. a razão dessa PA é:
(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10
- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede).
- Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo.
Sn=3n2+5n
S1=3•12+5•1
S1=3+5
a1=8
- Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2:
S2=3•22+5•2
S2=3•4+10
S2=12+10
S2=22
- Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto:
a1+a2=22
8+a2=22
a2=22-8
a2=14
- Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1:
r=a2-a1
r=14-8
r=6 Resposta certa, letra "B".
10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é
(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq
- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5:
{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...}
- Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral:
a100=a1+(100-1)r
a100=p+99•p
a100=100p
- Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A".
S100=(a1+a100)•100/2
S100=(p+100p)•50
S100=(101p)•50
p=5050p
- Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B".
a100=100q
S100=(q+100q)•50
S100=(101q)•50
S100=5050q
- Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos:
5050(p+q) resposta certa, letra "D".
11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2
- Informações:
a1=-a an=20a r=7
- Vamos utilizar a fórmula do termo geral:
Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades:
3a+1-2
3a-1 Resposta certa letra "B".
GABARITO
01-C 04-C 07-D 10-D
02-A 05-C 08-B 11-B
03-B 06-E 09-B
Do conjunto de todos os números naturais n, n ≤ 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os mútiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.
13) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de "T" (a inicial de seu nome), conforme a figura
Supondo que o guri conseguiu formar 10 "T" completos, pode-se, seguindo o padrão, afirmar que ele possía
(A) mais de 300 bolitas.
(B) pelo menos 230 bolitas.
(C) menos de 220 bolitas.
(D) exatamente 300 bolitas.
(E) exatamente 41 bolitas.
quinta-feira, 17 de abril de 2008
Exercícios de Equações de 2º grau
Resolver as equações incompletas do segundo grau.
1. x² + 6x = 0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0
Exercícios
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
a. x² + 9 x + 8 = 0
b. 9 x² - 24 x + 16 = 0
c. x² - 2 x + 4 = 0
d. 3 x² - 15 x + 12 = 0
e. 10 x² + 72 x - 64 = 0
2. Resolver as equações:
a. x² + 6 x + 9 = 0
b. 3 x² - x + 3 = 0
c. 2 x² - 2 x - 12 = 0
d. 3 x² - 10 x + 3 = 0
Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:
1. x + 6/x = -7
2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1
Resolver as equações incompletas do segundo grau.
1. x² + 6x = 0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0
Exercícios
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
a. x² + 9 x + 8 = 0
b. 9 x² - 24 x + 16 = 0
c. x² - 2 x + 4 = 0
d. 3 x² - 15 x + 12 = 0
e. 10 x² + 72 x - 64 = 0
2. Resolver as equações:
a. x² + 6 x + 9 = 0
b. 3 x² - x + 3 = 0
c. 2 x² - 2 x - 12 = 0
d. 3 x² - 10 x + 3 = 0
Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:
1. x + 6/x = -7
2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1
Forma (S,P) de uma equação do segundo grau
Seja a equação ax2+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a 0, vem:
x2 + (b/a)x + (c/a) = 0
Sendo x1 e x2 as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes.
Ora, poderemos escrever então:
S = -b / a -S = b/a
Substituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente:
x2 – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.
Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.
Exemplos:
a) x2 – 5x + 6 = 0
Soma das raízes = S = 5
Produto das raízes = P = 6
Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.
b) x2 – x – 12 = 0
S = 1 e P = -12
Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são 4 e –3 , que são as raízes da equação.
c) x2 +3x - 4 = 0
S = - 3 e P = -4
Os números que somados dá –3 e multiplicados dá –4 são –4 e 1, que são as raízes da equação.
d) x2 + x - 999000 = 0
S = -1 e P = -999000
Verifique mentalmente que as raízes são -1000 e 999.
A solução pela fórmula de Bhaskara seria um pouco trabalhosa. Perceberam?
e) x2 – (1+ 3)x + 3 = 0
Verifique mentalmente que as raízes são 1 e 3.
Com a prática, você será capaz de resolver muitas equações do 2º grau, sem o uso da fórmula de Bhaskara, com o uso do método acima.
Nota: a fórmula de Bhaskara – matemático hindu do século XII – é dada por:
x = (-b a onde = b2 – 4ac ( é conhecido como discriminante da equação).
Esta fórmula – atribuída a Bhaskara – resolve a equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0, com a 0.
Observe que se = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; se a equação possui duas raízes reais e distintas entre si; se a equação não possui raízes reais.
Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x2 – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.
Exemplo: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?
Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780
Logo, a equação é: x2 – 88x + 780 = 0.
Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?
Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400
Logo, a equação procurada é x2 - 96x – 400 = 0.
Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?
Temos: S = w –1 + w + 1 = 2w
P = (w –1)(w+1) = w2-1
Logo, a equação procurada é:
x2 – 2wx + w2 – 1 = 0.
Agora resolva mentalmente a equação x2 + 100x – 60000 = 0
Resposta: as raízes são -300 e 200.
Seja a equação ax2+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a 0, vem:
x2 + (b/a)x + (c/a) = 0
Sendo x1 e x2 as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes.
Ora, poderemos escrever então:
S = -b / a -S = b/a
Substituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente:
x2 – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.
Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.
Exemplos:
a) x2 – 5x + 6 = 0
Soma das raízes = S = 5
Produto das raízes = P = 6
Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.
b) x2 – x – 12 = 0
S = 1 e P = -12
Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são 4 e –3 , que são as raízes da equação.
c) x2 +3x - 4 = 0
S = - 3 e P = -4
Os números que somados dá –3 e multiplicados dá –4 são –4 e 1, que são as raízes da equação.
d) x2 + x - 999000 = 0
S = -1 e P = -999000
Verifique mentalmente que as raízes são -1000 e 999.
A solução pela fórmula de Bhaskara seria um pouco trabalhosa. Perceberam?
e) x2 – (1+ 3)x + 3 = 0
Verifique mentalmente que as raízes são 1 e 3.
Com a prática, você será capaz de resolver muitas equações do 2º grau, sem o uso da fórmula de Bhaskara, com o uso do método acima.
Nota: a fórmula de Bhaskara – matemático hindu do século XII – é dada por:
x = (-b a onde = b2 – 4ac ( é conhecido como discriminante da equação).
Esta fórmula – atribuída a Bhaskara – resolve a equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0, com a 0.
Observe que se = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; se a equação possui duas raízes reais e distintas entre si; se a equação não possui raízes reais.
Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x2 – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.
Exemplo: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?
Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780
Logo, a equação é: x2 – 88x + 780 = 0.
Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?
Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400
Logo, a equação procurada é x2 - 96x – 400 = 0.
Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?
Temos: S = w –1 + w + 1 = 2w
P = (w –1)(w+1) = w2-1
Logo, a equação procurada é:
x2 – 2wx + w2 – 1 = 0.
Agora resolva mentalmente a equação x2 + 100x – 60000 = 0
Resposta: as raízes são -300 e 200.
Exercícios Resolvidos
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios: Resolver as equações
1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h
Problemas com sistemas de equações:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:
C + A = 22
C - A = 4
Resposta: C = 13 e A = 9
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:
A + B = 100000
A = 3B
Resposta: A = 75000, B= 25000.
3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:
3D + O = 260
O = 140
Resposta: D = 40
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios: Resolver as equações
1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h
Problemas com sistemas de equações:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:
C + A = 22
C - A = 4
Resposta: C = 13 e A = 9
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:
A + B = 100000
A = 3B
Resposta: A = 75000, B= 25000.
3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:
3D + O = 260
O = 140
Resposta: D = 40
Exercícios de Equações de 1º Grau
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
2) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):
a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
2) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):
a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
Exemplos de Equações de 1º Grau
1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6
2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6
O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem para facilitar o entendimento da solução de uma equação, mas para resolvê-la existe um método simples e prático que é o seguinte:
Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x
Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável. Os termos que mudam de membro tem os sinais trocados.
5x – 8 = 12 + x
5x – x = 12 + 8
Calculamos a somas algebricas de cada termo.
4.x = 20
Quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. O que está adicinando passa subtraindo e o que está subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.
Exercícios resolvidos:
1) Resolver a equação:
2( x + 5 ) - 3( 5 – x ) = 5
Nesse tipo de equação, devemos inicialmente, retirar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e a regra de eliminação de parênteses.
2. Resolver a equação:
Para eliminar os denominadores multiplicamos todos os termos da equação pelo m.m.c. dos denominadores
3) Resolução da equação:
Nessa equação, inicialmente reduzimos todas as frações ao mesmo denominador, e a seguir cancelamos esses denominadores
m.m.c ( 3, 2, 6 ) = 6
3, 2, 6 2
3, 1, 3 3
1, 1, 1 2 . 3 = 6
4) Resolver a equação:
m.m.c ( 2, 3, 4 ) = 12
Efetuando as multiplicações:
Multiplicando os dois membros da equação pelo m.m.c dos denominadores, que é 12, vem:
Resolvendo a mesma equação pelo método da eliminação dos denominadores:
5) Resolver a equação:
6) Resolver a equação:
m.m.c ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 420
7) Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?
( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29
8) De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R )
a) ax + bx + c = 2a + 2b + c
ax + bx = 2a + 2b + c – c
x( a + b ) = 2a + 2b
se a ≠ -b e b ≠ -a
b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x )
a² + 2ax + x² = a² – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x²
2ax + x² – ax – 3x – ax + 2x – x² = - a² + a² – 2a + 3a – 6
x(2a – a – 3 – a + 2) = a – 6
x(-1) = a – 6
1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6
2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6
O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem para facilitar o entendimento da solução de uma equação, mas para resolvê-la existe um método simples e prático que é o seguinte:
Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x
Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no segundo membro os termos que não apresentam variável. Os termos que mudam de membro tem os sinais trocados.
5x – 8 = 12 + x
5x – x = 12 + 8
Calculamos a somas algebricas de cada termo.
4.x = 20
Quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passa dividindo e o que está dividindo passa multiplicando. O que está adicinando passa subtraindo e o que está subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro membro está multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.
Exercícios resolvidos:
1) Resolver a equação:
2( x + 5 ) - 3( 5 – x ) = 5
Nesse tipo de equação, devemos inicialmente, retirar os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e a regra de eliminação de parênteses.
2. Resolver a equação:
Para eliminar os denominadores multiplicamos todos os termos da equação pelo m.m.c. dos denominadores
3) Resolução da equação:
Nessa equação, inicialmente reduzimos todas as frações ao mesmo denominador, e a seguir cancelamos esses denominadores
m.m.c ( 3, 2, 6 ) = 6
3, 2, 6 2
3, 1, 3 3
1, 1, 1 2 . 3 = 6
4) Resolver a equação:
m.m.c ( 2, 3, 4 ) = 12
Efetuando as multiplicações:
Multiplicando os dois membros da equação pelo m.m.c dos denominadores, que é 12, vem:
Resolvendo a mesma equação pelo método da eliminação dos denominadores:
5) Resolver a equação:
6) Resolver a equação:
m.m.c ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 420
7) Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?
( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29
8) De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R )
a) ax + bx + c = 2a + 2b + c
ax + bx = 2a + 2b + c – c
x( a + b ) = 2a + 2b
se a ≠ -b e b ≠ -a
b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x )
a² + 2ax + x² = a² – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x²
2ax + x² – ax – 3x – ax + 2x – x² = - a² + a² – 2a + 3a – 6
x(2a – a – 3 – a + 2) = a – 6
x(-1) = a – 6
segunda-feira, 14 de abril de 2008
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